Red de Hopfield
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Minimización de Funciones

Función de Energía


Función de Energía de la red de Hopfield

En el caso de la Red de Hopfield esa función existe:

Como la red es recurrente, las salidas en un determinado instante representan el próximo conjunto de entradas y así tanto los pesos como las entradas están explícitamente representadas.

Propiedades de E:

  1. Todo cambio de x da lugar a una disminución de E
  2. E posee un límite inferior.
  3. E cuando cambia lo hace en una cantidad finita.

Si se pueden probar los dos primeros apartados demostramos que la función posee una solución estable: El segundo punto es inmediato, centremos en el primero:

Partimos de la ecuación de energía y suponemos un cambio de una sola componente el k. Podemos volver a escribir dicha ecuación mostrando explícitamente el término que contienen el elemento k:

El elemento k cambia su estado de 1 a 2 por tanto:

Como la matríz de pesos es simétrica y por otra parte el umbral es normalmente cero ya que al tratar de minimizar el valor de E en algunos casos el término umbral puede incrementar dicho valor y en otros disminuirlos, de tal manera que para que no exista distinta influencia sobre diferentes entradas se le asigna un valor cero.

La equación queda entonces así:

Las ecuaciones que determinan el cambio de estado son:

Si permanece en el mismo estado E no cambia. Se puede hacer una generalización para el caso de que cambien más PE, el resultado sería el mismo. Con todo ello, se ha probado que E siempre decrece cuando se produce algún cambio en las salidas y que por otra parte se encuentra acotada, por lo tanto, existe solución estable para el sistema.


M. González Penedo